学习数学分为三个层次：
低级别考试考高分；中级学知识；高级学思维。
比如大家都在欧几里得的《几何原本》中浸润过，但是只有少数人比如黎曼去思考球面几何问题，所以黎曼几何才会横空出世，然后才有后人受其荫庇，才有了相对论，然后才有了今天的GPS定位；对于高次方程解的问题，300多年无人解决，直到天才的伽罗瓦的群论方才完全解决，以至于群论极大的影响了物理和化学的进展。这些开创性学科的出现，显然是数学思维层面的提高，只有在思维层面，我们才能去发现和创造。
但是思维层面的提高，第一步仍然先是——获得高分。这代表了你对数学的热爱和潜能，因为如果连基础的数学都搞不定，对于需要创造性的东西，大概率你是没有什么兴趣和能力的。
这就回到特别底层的问题，对于专业方向的选择，得热爱，且有潜力，同时还得和你将来的职业发展方向相契合。
数学方向的Ability vs. Potential
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Ability：你学校的数学成绩
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低Potential：AMC、欧几里得、澳洲AMC
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中Potential：AIME、ROSS、Promys、DMM拿牌、ARML拿牌
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高Potential：SuMac、HMMT拿牌、PuMac拿牌、丘成桐银牌以及以上、建模拿牌
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超高Potential：IMO拿牌、HMMT/PuMac金牌、丘成桐金牌、其他数学论文作者。
我们先看一道很实际的问题，也是之前MCM很经典的一道基础习题：
首先关于椭圆的方程会在一些低potential的题目中考察，而斜椭圆方程则是中高potential竞赛题目中才会考察的。但是如果做以下建模题目，则需要对椭圆以及斜椭圆方程有极大的认知才会快速的处理问题：
据报道：2013年2月16日有一颗直径大约50米的小行星与地球擦肩而过，小行星撞击地球危险可能再度引起公众的关注。
要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，需要在轨道平面内建立以太阳为原点的空间直角坐标系，然后在不同时刻对小行星进行观测，以确定其轨道。已知在5个不同时刻对某颗小行星进行了5次观测，表A给出了相应的观测数据。
表A：某小行星的5次观测数据（单位：天文单位）
注：一个天文单位等于地球到太阳的平均距离，即米。
你所要作的工作是：确定这颗小行星的轨道，如椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点，以及椭圆轨道的周长等。
评论：所运用的数学模型非常简单，是一个二次曲线的方程的简单应用，即Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0，所以这道题目用待定系数法很容易把方程列出来。
由开普勒第一定律知，小行星的轨道为椭圆，现需要建立椭圆方程
以供研究。
天文学家确定小行星运动的轨迹时，他的依据是轨道上5个点的坐标数据。由椭圆轨道属于二次曲线，是一般方程。为了确定方程中的5个待定系数，需要将上述5个点的坐标代入上面的方程,
求解这一线性方程组，即可得到曲线方程的系数。
求解转化为标准方程后的系数
为了知道小行星轨道的一些参数，还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式：
由于太阳的位置是小行星的一个焦点，这时可以根据椭圆的长半轴a和短半轴b计算出小行星的近日点和远日点距离，以及椭圆周长L.
根据二次曲线理论，可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下：
剩余的内容就可以利用软件来求具体值即可了。
利用matlab软件求解：
首先由5个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵 ：
求：
X0=[5.764 6.286 6.759 7.168 7.408];
Y0=[0.648 1.202 1.823 2.526 3.360];
A=zeros(5);X0(1);
for i=1:5
A(i,1)=X0(i)^2;
A(i,2)=2*X0(i)*Y0(i);
A(i,3)=Y0(i)^2;
A(i,4)=2*X0(i);
A(i,5)=2*Y0(i);
end;
A
得：A =
33.2237 7.4701 0.4199 11.5280 1.2960
39.5138 15.1115 1.4448 12.5720 2.4040
45.6841 24.6433 3.3233 13.5180 3.6460
51.3802 36.2127 6.3807 14.3360 5.0520
54.8785 49.7818 11.2896 14.8160 6.7200
又知A*X=B，求解B:
B=[-1 -1 -1 -1 -1]';X=A\B
得：
X'=[0.0508 -0.0351 0.0381 -0.2265 0.1321]
即（a1，a2，a3，a4，a5）= （0.0508，-0.0351，0.0381，-0.2265，0.1321）
然后求C、D
for i=1:5
a(i)=X(i);
end
C=[a(1) a(2);a(2) a(3)]
det(C)
得 C =
0.0508 -0.0351
-0.0351 0.0381
丨C丨= 7.0286e-004
求特征值:
[v d]=eig(C,'nobalance')
得d =
0.0088 0
0 0.0801
所以特征值λ1=0.0088 ，λ2=0.0801 .
求D
D=[a(1) a(2) a(3);a(2) a(3) a(5); a(4) a(5) 1]
det(D)
得
D =
0.0508 -0.0351 0.0381
-0.0351 0.0381 0.1321
-0.2265 0.1321 1.0000
丨D丨= 0.0010
于是，椭圆长半轴a=12.7158，短半轴b=4.2147，半焦距c=11.9970 。小行星近日点距离和远日点距离分别为 h=a-c=0.7188 和 H=24.7128 。
最后，计算离心率、面积、周长：
c=11.9970;
e=c/12.7158,
S=pi*12.7158*4.2147,
L=2*pi*12.7158*(1-e^2/4-3*e^4/64)
得
离心率 e =0.9435
面积 S =168.368
周长 L =59.1487
椭圆方程为：
离心率：e=0.9435 ；
面积：S=168.3683 ；
周长：L=59.1487 。
对于这道入门级别的建模题，不需要非常强的数学知识，但是方程组思想、转化思想、矩阵的基础知识以及基本的软件使用都需要熟练掌握。
