想要走进IMO，先走进AIME再说

AMC 10&12 已经落下了帷幕，通过AIME成功进入美国国家队，征战IMO，走向人生巅峰的机会又来了！诶等等，我们好像是中国内地的，美国国家队不收……无论如何，都进了AIME，至少还是要去考一下的。这几期的公众号，我们（/我自己）就来为AIME作一些准备~

在这一期中，我们主要来介绍AIME的特点，并熟悉真正的考试形式。

AIME，全称American Invitational Mathematics Examination（美国高中邀请赛），是一个较为高层次的比赛，在AMC中获得优异的成绩才可获取参赛资格，分数直接与能否进“营”（即参加USAMO）挂钩。简单来说，就是这样：

我们中国学生参加AIME，需要注意与我们平时考试不同的小细节。

一、正式考试时间有3小时，题目由15道填空题组成，每题的答案都是一个000~999中的自然数。官方规则如下：

1. This is a 15-question, 3-hour examination. All answers are integers ranging from 000 to 999, inclusive. Your score will be the number of correct answers; i.e., there is neither partial credit nor a penalty for wrong answers.

（与AMC不同的是，这里错误答案不会扣分，而且每题的答案还有一个固定的范围，所以不管怎么样每题都要猜个最有可能的答案。）

2. No aids other than scratch paper, graph paper, ruler, compass and protractor are permitted. In particular, calculators and computers are not permitted.

（非常有趣的是，尺、圆规、量角器都是可以携带的！这说明作图可以做到100%精确，因此AIME从来不出可以直接精确作图量出来的题【即答案简洁，利用简单全等、相似可以算出的题】，这也是几何方面对我们中国学生最大的困扰。）

二、为了方便阅卷，每题的答案都限定在[0,999]这个范围内，且都是整数。然而，实际上很多问题的直接结果都并不是整数或不在范围内。这时候命题人会对其进行一些小“包装”，让其变成满足条件的答案。例如：

当答案大于1000时，所求的变成了“答案除以1000的余数”；

当答案为分数时，所求的变成了“答案表示成最简分数时为m/n，那么m+n的值为多少”；

当答案为无理数时，所求的变成了“答案写成m根号n时，n不含平方因子时，m+n的值为多少”。

总而言之，很重要的一点是：看清题目要求。审题！审题！审题！答案是a/b，求的可能是a+b，也可能是a，也可能是ab等等。当我们辛苦地完成了一题的计算后，最后写成题目要求的形式一定不能疏忽。

三、解题策略非常非常非常重要。首先我们要知道，通常情况下第1~5题比较简单（相对后面的题），第6~10题难度中等（偶尔会有一两题比较有难度），第11~15题才是真正有区分度的。

对于我自己（可能是大部分同龄竞赛生）来说，AIME的代数比起初中竞赛来都较为简单。美国不是非常重视代数，在近十年的AIME中，除了 整式变形、应用题、等差等比数列、对数、复数、二次函数/方程 ，其它知识没有任何存在感。困难的题目都是代数与其它知识结合的（几何极值，组合递推等等）。纯代数题大部分都出现于1~10（一般只有2~3题），计算量可能稍大一些，但都是非常常规的题型。这些题目可以多花时间，要尽量拿下。举几个例子：

这是2017 AIME II 的第6题。直接配方或者不等式防缩都可以，熟练的一分钟就可以搞定。

这是2017 AIME II的第7题。此题难度相比上一题稍微大一些，然而只是一个二次方程（log可以丢掉）根的分布（要使log有意义）而已。即使算两遍，至多5分钟也可以完成了。

这是2018 AIME I的第6题。注意一个常用套路：|z|=1等价于z=sina+icosa，随后由条件可得sin720a-sin120a=0，和差化积可以得到两个额三角函数之积为0，进而得到答案。

这是2016 AIME II的第15题。放在最后一题的位置，这题难度却并不高。我们发现，只要把左边的x(i)*x(j)变成x(i)^2，那么这就变成关于x(i)^2与(1-a(i))的式子了。而a(i)之和又是固定的，很容易发现用柯西不等式。（当然，放在15题属于心理战术了，只有少部分考生发现这题其实很简单……在AoPS上遭到无数考生吐槽。）

然而，中国学生的福音是代数，AIME偏偏不出代数，而出造福美国学生的东西——几何。

一般，1~5题中的几何比较简单；6~10题中的几何对我来说就已经略为困难了。11~15题更是直接放弃。1~10几何题的特点是：计算量大。一般都是以斯图尔特定理、托勒密定理、正弦余弦定理为主，建议大家仔细算算。11~15必定会出的很困难。

这是2016 AIME II第10题，虽然我模拟考试的时候没有完成，现在回头看真心不难，不要被吓坏。这种题目没有什么捷径，利用相交弦定理老老实实一条条设出来（多联几条线），最后找到一个四边形用一下托勒密。

这是2018 AIME I 第4题，我模拟考试的时候没像网友想那么多，简单粗暴地用余弦算，用时也不算长。两三角形共角的情况都可以用余弦bash。

这是2018 AIME I 第8题。前面提到考试可以带圆规和直尺，所以“小聪明”的方法就是标准作个图，找一下哪两条边之间距离最短，再算一算就可以啦！其实今年这题出得可以说是非常有良心了，像某类小奥题。

组合、数论方面不像几何、代数那么固定，每年难度差距很大。这里数论题出的非常少，所以我们关注组合题。它有一个非常厉害的套路（因为必定都是计数题）：枚举！3小时的时间解15道题，放弃了4~5道题后至少也能花个20分钟枚举出一道组合题。要关心的是期望值，它对中国学生比较生僻。算期望值一般用列表法比较方便。AIME中很多组合题也需要用递推，所以做组合题主要策略就是先找递推，不行再枚举。

为什么枚举那么重要？看一位AoPS网友的亲身体验：

On the AIME I this year, I solved 9 problems (1-8 & 11), but should've scored higher. You see, I had already these 9 problems solved after 1.5 hours, and spent another hour (saving the last 30 minutes for checking my work) jumping around the rest of the non-geo problems (9, 10, 12, 14) without getting any progress. I was expecting a 12, but due to my inability to do anything during that hour, I didn't even come close.

I wouldn't say that I was bad at combo; I simply just kept using the wrong approach to solving the problems for some reason. After the test, I noticed how easy those 4 problems I missed actually were, and managed to solve them (10 & 14 in particular could be solved by the method of tables, while I wasted time trying out simple recursion). 

综上，我们的答题策略是：先完成1~5，再捡6~

15中的软柿子——即代数题（或你擅长的领域），再花时间bash一下6~15中的几何题。再找一些组合题做（这里可能很耗时），最后一定要留30分钟验算一下答案。验算很重要！很重要！很重要！我做一套Mock AIME的时候#1~#5没有验算，于是就错了两题……

说了那么多，检验效果的时间到了！欢迎大家尝试——2018 Spring Mock AIME！（这次终于从word变成latex了，惊不惊喜~）