数学:从学科到竞赛再到应用

时间:2022-01-26 17:35:13  作者:犀牛教育 来源:犀牛教育

前奏

学习数学分为三个层次:

低级别考试考高分;中级学知识;高级学思维。

 

比如大家都在欧几里得的《几何原本》中浸润过,但是只有少数人比如黎曼去思考球面几何问题,所以黎曼几何才会横空出世,然后才有后人受其荫庇,才有了相对论,然后才有了今天的GPS定位;对于高次方程解的问题,300多年无人解决,直到天才的伽罗瓦的群论方才完全解决,以至于群论极大的影响了物理和化学的进展。这些开创性学科的出现,显然是数学思维层面的提高,只有在思维层面,我们才能去发现和创造。

 

但是思维层面的提高,第一步仍然先是——获得高分。这代表了你对数学的热爱和潜能,因为如果连基础的数学都搞不定,对于需要创造性的东西,大概率你是没有什么兴趣和能力的。

 

这就回到特别底层的问题,对于专业方向的选择,得热爱,且有潜力,同时还得和你将来的职业发展方向相契合。

 

数学方向的Ability vs. Potential

 

  • Ability:你学校的数学成绩

  • 低Potential:AMC、欧几里得、澳洲AMC

  • 中Potential:AIME、ROSS、Promys、DMM拿牌、ARML拿牌

  • 高Potential:SuMac、HMMT拿牌、PuMac拿牌、丘成桐银牌以及以上、建模拿牌

  • 超高Potential:IMO拿牌、HMMT/PuMac金牌、丘成桐金牌、其他数学论文作者。

 

建模比赛:数学到底能解决什么实际问题?

 

我们先看一道很实际的问题,也是之前MCM很经典的一道基础习题:

 

首先关于椭圆的方程会在一些低potential的题目中考察,而斜椭圆方程则是中高potential竞赛题目中才会考察的。但是如果做以下建模题目,则需要对椭圆以及斜椭圆方程有极大的认知才会快速的处理问题:

据报道:2013年2月16日有一颗直径大约50米的小行星与地球擦肩而过,小行星撞击地球危险可能再度引起公众的关注。

要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道,需要在轨道平面内建立以太阳为原点的空间直角坐标系,然后在不同时刻对小行星进行观测,以确定其轨道。已知在5个不同时刻对某颗小行星进行了5次观测,表A给出了相应的观测数据。

表A:某小行星的5次观测数据(单位:天文单位)

注:一个天文单位等于地球到太阳的平均距离,即米。

你所要作的工作是:确定这颗小行星的轨道,如椭圆的半长轴、半短轴、半焦距、近日点、远日点,以及椭圆轨道的周长等。

评论:所运用的数学模型非常简单,是一个二次曲线的方程的简单应用,即Ax²+By²+Cxy+Dx+Ey+F=0,所以这道题目用待定系数法很容易把方程列出来。

由开普勒第一定律知,小行星的轨道为椭圆,现需要建立椭圆方程

以供研究。

天文学家确定小行星运动的轨迹时,他的依据是轨道上5个点的坐标数据。由椭圆轨道属于二次曲线,是一般方程。为了确定方程中的5个待定系数,需要将上述5个点的坐标代入上面的方程,

得:

将这一包含5个未知数的线性方程组,写成矩阵的形式

求解这一线性方程组,即可得到曲线方程的系数。

 

求解转化为标准方程后的系数

 

为了知道小行星轨道的一些参数,还必须将二次曲线方程化为椭圆的标准方程形式:

由于太阳的位置是小行星的一个焦点,这时可以根据椭圆的长半轴a和短半轴b计算出小行星的近日点和远日点距离,以及椭圆周长L.

根据二次曲线理论,可得椭圆经过旋转和平移两种变换后的方程如下:

剩余的内容就可以利用软件来求具体值即可了。

利用matlab软件求解:

首先由5个点的坐标数据形成线性方程组的系数矩阵 :

求:

X0=[5.764   6.286   6.759   7.168   7.408];

Y0=[0.648   1.202   1.823   2.526   3.360];

A=zeros(5);X0(1);

for i=1:5           

     A(i,1)=X0(i)^2;

     A(i,2)=2*X0(i)*Y0(i);

     A(i,3)=Y0(i)^2;

     A(i,4)=2*X0(i);

     A(i,5)=2*Y0(i);

end;

A

得:A =

   33.2237    7.4701    0.4199   11.5280    1.2960

   39.5138   15.1115    1.4448   12.5720    2.4040

   45.6841   24.6433    3.3233   13.5180    3.6460

   51.3802   36.2127    6.3807   14.3360    5.0520

   54.8785   49.7818   11.2896   14.8160    6.7200

 

又知A*X=B,求解B:   

 B=[-1 -1 -1 -1 -1]';X=A\B

得:

X'=[0.0508  -0.0351  0.0381  -0.2265  0.1321]

即(a1,a2,a3,a4,a5)= (0.0508,-0.0351,0.0381,-0.2265,0.1321)

然后求C、D

for i=1:5

    a(i)=X(i);

end

C=[a(1) a(2);a(2) a(3)]

det(C)

得  C =

    0.0508   -0.0351

   -0.0351    0.0381

 丨C丨= 7.0286e-004

求特征值:

[v d]=eig(C,'nobalance')

得d =

    0.0088      0

         0    0.0801

所以特征值λ1=0.0088 ,λ2=0.0801 .

求D

D=[a(1) a(2) a(3);a(2) a(3) a(5); a(4) a(5) 1]

det(D)

D =

    0.0508   -0.0351    0.0381

   -0.0351    0.0381    0.1321

   -0.2265    0.1321    1.0000

丨D丨= 0.0010

 

于是,椭圆长半轴a=12.7158,短半轴b=4.2147,半焦距c=11.9970 。小行星近日点距离和远日点距离分别为 h=a-c=0.7188 和 H=24.7128 。

 

最后,计算离心率、面积、周长:

c=11.9970;

e=c/12.7158,

S=pi*12.7158*4.2147,

L=2*pi*12.7158*(1-e^2/4-3*e^4/64)

离心率 e =0.9435

面积 S =168.368

周长 L =59.1487

椭圆方程为:

离心率:e=0.9435 ;

面积:S=168.3683 ;

周长:L=59.1487 。

 

对于这道入门级别的建模题,不需要非常强的数学知识,但是方程组思想、转化思想、矩阵的基础知识以及基本的软件使用都需要熟练掌握。

 

AIME冲刺班

关键字:国际数学竞赛,AMC数学竞赛,

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