主题赛
1.切尔西去MIT的水果店买了100个椰子，每个重4磅，还有100个蜜露，每个重5磅。她想把它们装到n个袋子里，但每个袋子最多能装13磅重的水果。求n的最小值.
2.未来，麻省理工学院会有很多摩天大楼. 本和杰瑞两人决定一起去玩溜索. 本先从格林大楼的楼顶出发, 顺着溜索滑到斯塔塔中心的底部. 等秒之后, 杰瑞从斯塔塔中心的楼顶出发, 顺着溜索滑到格林大楼的底部. 已知格林大楼搞160米,斯塔塔中心高90米, 两者的间距为120米. 两人在溜索上的滑行速度均为10米/秒. 已知格林的杰瑞在两条溜索相交处相遇, 求的值.
3.近日, 哈佛为学生们修建的一栋新的房子, 由n层构成. 从最顶层起的第k层为一个半径为k米,高为1米的圆柱. 已知这个大楼的侧面积(即建筑物的外部垂直墙面)占总表面积(包括底面积)的, 求n的值.
4.在单位正方形DOME的边ED和DO上分别取点G, N,使得五边形GNOME的所有边长只有2个不同的值. 设NOME的所有可能的面积的值之和可以表示为, 其中为正整数, ,且不含平方因子. 求.
5.MIT的所有教室都有一个编号(初始不为0). 有一天, 瑞夫校长在走廊里面发现有一个教室的门牌上的一个0掉下来了. 设原来的门牌号为N, 丢了一个0之后所显示的门牌号为M, 分式的值能取到的最短区间为 .其中为正整数, , 求的值.
6.哈佛科学中心的电梯按钮组成了一个3×2的网格, 每个按钮外表完全相同, 且被按下时都会发亮. 一天, 某学生在电梯内时, 其他灯都失灵了, 只有按钮亮着时学生才能看到这个按钮, 且不能区别它与其他的按钮. 那么, 学生所能观察到的按钮组成的图形有多少种?(例如, 只有一个按钮亮着的6种情况视为同一种.)
7.在哈佛中心吃饭前的间隙, 安娜和芭娜娜两人发现了三个方框, 并且决定用它们来玩游戏. 两人轮流将{1,2,3,4,5}这5个数字填入这3个方框中, 安娜先开始. 设这三个方框从左至右填入的数字为,安娜的目标是让多项式的最小值尽量小, 芭娜娜的目标则是让多项式的最小值尽量大. 若两人都选用最优方法, 求的值.
8.参观完约翰•哈佛的雕像之后, 一群游客在地图上以这个雕像为圆心画圆. 他们画了7981个半径为英寸的圆, 其中. 已知在这张地图上, 约翰斯通大门是一个长为10英寸的线段, 且位于最小的圆和最大的圆之间. 那么, 这个线段和游客们所作的圆至少有多少个交点?(线段的端点也视为在线段上, 切点也视为交点)
9.在课间休息时间, 阿勒萨和贝琳达一起玩游戏. 他们各有一张纸, 上面写着同一个等比数列, 该数列是一个2020项的单调递增数列, 公比为正整数. 在每一步中, 阿勒萨去掉她那张纸上的数列中最小的两项, 并写下它们的等比中项. 与此相反, 贝琳达则将她那张纸上最大的两项用它们的等比中项替代. 两人一直操作下去, 直到她们的纸上分别只剩一个数字为止. 此时阿勒萨所剩的数字为A, 贝琳达所剩的数字为B, 设为使得为整数的最小整数, 设为的正因数个数. 求与最接近的整数.
10.塞恩走进纪念堂的一间教室里, 发现黑板上有一个正整数,由一个1和它后面的2020个0构成. 塞恩决定随机的擦去其中一些0, 规则如下: 从右起的第n个0被擦去的概率为$\frac{n-1}{n}(当然, 1不会被擦去). 那么, 当他擦完之后, 黑板上所剩的正整数作为3进制数所对应的值的期望是多少? (例如, 黑板上这个数为1000, 则它作为3进制数所对应的值为27) |
