哈佛-麻省理工学院数学锦标赛 HMMT
不是哈佛大学和麻省理工学院学生之间的比赛，从标题中可以合理地推测。
HMMT实际上是一项高中水平的数学竞赛，由哈佛大学和麻省理工学院的学生组织。
学生通过一系列的个人和团队回合参加团队比赛。以下是 2021 年 11 月锦标赛“胆量”回合的 3 个问题。
The Guts 是一项接力赛，每支队伍分成两半，轮流尽快解决问题。
第1题 [5分]
假设h · a · r · v · a · r · d = m · i · t = h · m · m · t = 100
求 (r · a · d) · (t·r·i·v·i·a)
第2题 [5分]
笛卡尔平面上方程 y = −x + 8 和 173 y = −289x + 2021 的图形在 (a, b)处相交。
第3题 [6分]
找出可以重新排列“HMMTHMMT”中的字母的组合的总数，以便每个相同的字母紧密相邻。
例如，“MMMMTTHH”满足此属性，但“HHTMMMTM”不满足此属性。
问题 1 的解决方案
我们没有足够的信息来单独解决每个变量。所以必须有一种方法可以组合方程来形成所需的乘积
该表达式包含除 h 之外的所有来自哈佛的字母，然后还有一个额外的 i、i 和 t。
(r·a·d）·(t·r·i·v·i·a)=((h·a·r·v·r·d）÷ h)· (i·i·t)
(r·a·d)·(t·r·i·v·i·a)=(100÷h)· (i·i·t)
现在我们只需要找到 ((i·i·t) ÷ h))的值。
方程 m · i · t =100 和 h · m · m · t = 100 派上用场：
(m·i·t)÷ (h · m · m · t) = 1
(i) ÷ (h · m) = 1
(m·i·t)· (i)÷（h·m)=100
(i·i·t）÷ h = 100
所以最后我们有了
(r·a·d)·(t·r·i·v·i·a(100÷h)· (i·i·t)
(r·a·d)·(t·r·i·v·i·a)=100· 100
(r·a·d)·(t·r·i·v·i·a)=10000
问题 2 的解决方案
真的很好。如果你和我一样，你会深入研究联立方程，可能从代入开始：
173 (−x + 8） = −289x + 2021
−173 x + 1384 = −289x + 2021
现在我把计算器拿出来......
...事实证明，方程组的解是
x = 637/116 和 y = 291/116
它们的总和 x + y = 928/116，感谢计算器简化为......8.
哦。噢！现在我明白了。🤦♂️
对于直线 y = −x + 8 上的任意点 (a，b)，总和 a + b 必须为 8，因为直线的方程只是 x + y = 8。
问题是由麻省理工学院的学生Holden Mui提出的 👽
对我来说，这实际上是最简单的，尽管比前两个略高。
任何满足条件的 8 个字母字符串都必须是 4 对“MM”、“MM”、“TT”和“HH”的排列。
会有 4 ！= 24 种排列方式
但是由于两个“MM”对是相同的，我们精确地重复计算了可能的排列数量，现在是 24 ÷ 2 = 12。
我希望你喜欢这“3个快速问题”。想要更具挑战性的东西的人，请尝试这个数论问题：
第29题 [15分]
凯文在黑板上写下正整数 1、2、......、15。然后，他在黑板上反复随机挑选两个整数a，b，擦除它们并写下
gcd(a，b)和lcm(a，b)
他一直这样做，直到他不再能够改变写在黑板上的一组数字。在此过程之后，找到数字的最大可能总和。
MIT 2023 Intergration Bee
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