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在欧几里得竞赛中体现在用几何叠加复杂方程组、几何叠加不定方程、数列叠加复杂方程组、数列叠加不定方程。下面看一道例题：

这是一道几何叠加不定方程的题目

齐次不定方程也是欧几里得数学竞赛中常考的知识点，下面整理了12道典型题目，供同学练习：

诸如a2 + mab + b2 = A，其他方法失效的，没办法因式分解、配方，则用△法。在用△法的过程中，比如碰到诸如：m2 + Pn2 = B(P 为小质数、B 为整数)，这种时候，要 充分用如下的结论：(这些数论的常规量是需要记忆的)

1)3 的倍数的平方值 mod 3 时，值为 0,1,1(即只能是 0 或 1)

2)4 的倍数的平方值 mod 4 时，值为 0,1,0,1(即只能是 0 或 1)

3)5 的倍数的平方值 mod 5 时，值为 0,1，-1(即只能是 0 或 1 或-1)

我们注意这些内容的主要目的是可以缩小试根的范围，比如：

解不定方程：m2 + mn + n2 = 2011，用△法是最后一个比较好的选择(或者配方也可 以，配成 2m + n 2 + 3n2 = 8044)，在用△法之后，会得出一个不定方程：

a2 + 3b2 = 8044

如果我们去用试根法，因为 b≤51，然后 51,50,49,48.47……这么试下去，这显然是 有问题的，在考场上你怎么可能有那么多时间?我们肯定是用同余的方法，不断缩小 范围，减少试的次数，这样才会可能把题目做对。

寻找 mod 3，mod 4，mod 5;不建议再寻找 mod 6 或以上，因为会出现大量的解。

在更高级别的比赛中，会碰到非齐次的不定方程，比如x2 + 3y3 = z2，但在欧几里得的考题也基本不考，所以不用关注了。

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