一文讲透AP、IB和A-level数学的区别和联系

经常会有一些学生和家长问：同样是数学，AP、IB和A-level他们之间有什么区别？是哪个学科更难一点，还是内容会更多一点？如果是体制内转到体制外的话，那么选择哪个体系会更适合我们家的孩子？那么今天我就给大家来讲一讲，三大体系数学学科的对比分析，以及它们之间的联系和区别。

IB体系是一个非常成熟且全面的一个体系，从小学到高中都有相关的课程。IB数学的大考或者整个高中阶段的数学课程，是一个综合数学。它的内容从函数代数方程 Linear Algebra、向量三角Vectors到微积分和概率统计calculus，Probability and Statistics。这三块内容综合起来的话，可以理解为是大学三大基础数学的一个前沿学习，这也是为什么说IB的高分是可以在大学当中进行学分抵扣的。因为它的学习内容跟海外一些学校的数学基础学习有着比较密切的联系。

代数、函数、三角几何，这些内容横向对比来说，其实跟我们体制内的高考数学的内容有点像，三角函数、向量、指对数这些在高考当中也会考。所以我习惯性的把它称之为初等数学，因为这是我们在大学之前学习的一个科目。

IB数学两大类：AA，全称是Analysis and Approaches，数学分析与方法。AI，Applications and Interpretation，数学应用与解释。从这个命名当中就可以看出AA是偏理论和分析的，AI偏应用和实际。

Numbers and Algebra

如图所示，左侧的AA有一块Proofs，对抽象和分析的要求比较高，包括systems of Linear Equ.方程组，包括行列的处理。

Functions

函数这一块的话，比起后面几个章节，AA和AI的区别会小一点，因为其实不管是研究抽象性的数学还是应用性的数学，函数都是一个公共性、普遍性的工具，

Trig and Graph

这一块AA和AI的区别是比较显著的。对于大部分学生来说都比较陌生，对于几何空间擅长的同学可以考虑一下AI。

Probability and Statistics

概率论和统计这一块，我们可以看到，主要的区别在于最后两个章节：Hypothesis testing 和 est&confidence intervals。最后两块内容，假设检验和区间估计执行度，这也是统计学当中的一个精髓，也正式体现了统计作为一门应用学科，它和纯数包括微积分的一个不同之处。

在生活当中很多地方，都可以用假设、检验或者区间估计来解释，这也再次体现了AI偏重应用和理解。

Calculus

微积分部分看上去区别不是很大，其实在这一块，AA会比AI考察的深。因为最后一块 Maclaurin  Series 实际上的难度和内容是很多的，它是一个微积分的综合应用，需要对微积分有比价高的理解。

在AI的Differential  Equations当中会考察到Coupled Differential Eqs。这在三大体系当中是比较独特的，所以选择AI的同学，在微积分当中要稍微留意一下。

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IB和AP是由官方统一管理的。但是A-level有个考试局的概念，一共是有7个考试局。中国大陆学生能参加到的主要是CIE，爱德思和AQA。

一般来说，中国大陆的学生选择CIE会更多一点，虽然不同的考试局的卷子是不一样的，但是理科的学习其实大同小异，只是在侧重点，或者说学习顺序上面会有一些区别，但是内容整体上来说不会有很显著的差异。

CIE考试局的话一般是四张卷子啊，包括：Pure1纯数1，Pure3纯数3，Statistics1 统计和Mechanics1力学。

需要注意的是，在于A-level中，数学有Mechanics这个部分包括Velocity and acceleration, Force and motion, Friction, Momentum, Work and energy。看到这些内容，大家就知道这是一个物理中的力学学科。

所以也就是说，在A-level数学当中，会考察物理的力学和数学结合的内容。比如圆周运动、匀变速直线运动等。会弱化一些物理当中的概念，主要是考察怎么去应用数学，运用微积分去把这些相关的变量和结果给计算出来。

纯数1、纯数三3和概率统计，对比一下IB。其实相似度挺高的。所以其实数学这个学科，只要是同年级的学生，差异不会特别大。

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AP的数学分为两个大考科目，Calculus and Statistics，也就是我们熟悉的AP微积分和AP统计。

AP微积分分为AB和BC两个方向。

AP的数学，不考察诸如像向量、三角函数、有理函数、复数这些概念。AP数学不是一个综合性数学，并不会考察到大学的微积分、统计这些内容。所以这也是AP和IB，A-level不太相同的一个地方，IB，A-level都是综合数学，而AP只考察微积分和数据统计。

AB微积分的AB和BC到底有什么样的区别？

总体上来说，BC的微积分会比AB的微积分涵盖更多内容，在同样的知识点上，BC难度也会比AB难度更高。比如说参数方针导数、几坐标的导数、分布积分等些在AB当中是不做要求的。

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对于选择AP的同学来说，虽然没有初等数学部分的考试，只有微积分和统计，但是不代表Precalculus就可以随便学学或者学了就忘，因为Precalculus是一个非常重要的基础。

首先，从眼前的一个角度来说，它关系到你的GPA，你的平时成绩。从一个长远的角度来说，AP的微积分对于Precalculus的基础要求是比较高的，很多内容，比如Partial Fraction 就是我们在Precalculus中学的有理函数的一个延伸，所以对于AP数学来说，初等数学也一样要重视。

在三角函数部分，IB、AP和A-level 都会考察大家对于

这个解析式中各个字母的含义与对应transformation的练习，也会结合三角恒等式与三角方程进行命题和考察。

IB和A-level比较喜欢去结合微积分进行处境。所以在学习的过程当中，也要去融合几个章节的知识点。在这个当中，A-level对于跨章节的考察更为注重。有时候会跨两三个板块，比方说三角微积分、再加一个有理函数，这些东西加一起去考察。

从学习的过程来说，微积分部分也是一个重点，因为它是一门大学的课程，大家在高中阶段就提前去学习，难度和挑战肯定是有的。而且，不管IB还是A-level，虽然是一个综合数学考察，但是微积分的这个比重往往都是比较高的。

对于微分和积分的这些考察与应用，三大体系基本上都是差不多的。所以大家在学习这一块内容的时候，比如说有些同学学IB的，可不可以去参考AP的资料呢？或者学A-level的，可不可以去参考IB的资料啊？这都是可以的，因为知识点都是完全一样的。

另外在在选择微积分时，同学们一定要去留意一下IB的AA HL的paper3和AP的BC，有一块内容叫Infinite Series，这一块内容对于很多学生来说啊，都是非常难以攻克的一关。

我之前在给学生分析备考和给予冲刺学习的建议时，我说过如果你觉得太难的话，可以选择性的放弃。这一点点分数并不会影响你最终的一个结。

三大体系在这方面的差异会比较显著一点。AP统计更像文科。所以它和微积分独立的开展，成为了并列的单独考试学科。那么IB和A-level当中的统计，除了AI这一块，很多时候会偏向于结合微积分的计算，就是说它会更侧重于概率论。所以IB和A-level是综合数学，它把这个概率部分考察进去了。

AP统计对于阅读审题分析的能力要求非常高。所以它比较像文科。

如图所示，AP的题目其实没有多少计算量，或者说，仅有的计算量都是交给计算器去完成的，所以AP的统计，比较侧重数理统计，侧重于你对统计的理解。

AP统计每年大考题目当中的简答题，都会考察你对于统计图表，或者说统计方法、统计实验的方法过程上的一些问题。而这个东西在IB和A-level是非常少的。

在整个AP统计中，就没有概率密度函数计算的概念。所以说如果你的微积分的基础不是很好，或者说阅读能力很强，其实可以考虑学AP统计。

三大体系在统计部分的差异是明显要高于初等数学和微积分部分。

当然，这在某种程度上也是由于统计这个学科的特点所造成的，因为统计学是一个应用学科。很多时候其实是通过数字来解释预测一些现象，或者辅助一些研究。所以AP统计侧重于考察这个方面。而IB和A-level可能更注重大家对于概率论的理解。

初等数学部分，哪怕是对于AP的学生来说也非常重要。学校里的绩点以及对于AP微积分的学习来说都是的一个基础

微积分部分，三大体系的区别是有限的，主要就是级数和微分方程。微分方程方面，主要是针对AI的同学。这个是三大体系当中其他所不具备的。微分方程的知识点不是多难，而主要是对于大家来说比较陌生。所以大家根据自己对于知识的理解，以及对于抽象代数函数的运用能力来选择。

统计部分，也是区别比较大的一个部分。AP偏文科，更考察学生对于统计的理解和分析，那么IB和A-level更加考察学生对于概率的运算以及统计的运算和分析。

对于不同体系的学生除了学校的课本学习之外呢，我也给出一些比较针对性的建议：

对于AP的同学，因为每年collegeboard考试局的出题风格和套路是比较固定的。所以把真题吃透对于大家做知识复习也好，备考也好，帮助都是比较大的。

IB和A-level的同学，特别是IB的课程内容，知识面非常广，尤其是AI的同学。所以在学习的过当中，可以多去参考一些大学里的，或者是更难一些的书籍给自己的知识储备做扩充。

那么A'-level的题目有这样的特色，就是它的题目同质化程度比较高，或者说它的套路比较固定。而且它的跨章节的综合性会更强一点，所以题海战术很有用，刷的足够多的题，熟练度，包括对于题目的敏感度，自然而然就出来了。

以上内容，是通过我个人的教学经验给三大体系做了这样的一个对比和分析啊。希望能够给各位家长和同学带来一定的帮助和收获。