AP微积分备考指南
AP微积分的魅力还是其内容本身，作为一门要求高中生在进入大学之前完成的预修科目来说，它很好得在知识广度与知识深度之间做到了平衡 。
在知识结构和逻辑上AP的微积分和我们国内高校的微积分体系相似度是最高的；其次AP微积分在对知识深度的把控上也是比较到位的，大部分题目的考察深度都不会很大，使得大家能顺利学到微积分的重要思想与一些应用场景。以下是邀请犀牛宋老师针对AP微积分特点进行疫情下的备考策略分析 。
No.1
7天复习重点
首先讲一下宏观的一些学习方法与建议。
考前抓住三基，基本知识、基本技能、基本方法： 大家在平时的学习中可以适当拓展补充一些有用的技巧和知识点，但是大考前还是要以基础为主，AP是给全球的美高体系学生考的，不至于为了针对中国学生把难度一下子拉高（虽然这几年是有微微提高的趋势，由此可见老外也在卷）。
认真对待真题： 任何考试不管是体制内的中高考（不少人应该听到过五年高考三年模拟这个词），AP考试，IB考试，考前都要吃透真题，因为真题充分体现了命题组对大纲的把握对课程目标的理解，因此大家不仅要多做真题，也要学会整理错题举一反三，甚至二刷三刷。
注重计算： 可以看到整张试卷非计算器部分的分值占比是远高于计算器部分的，而且在15个calculator allowed的选择题中有几个题目依旧需要大家手动计算。眼睛看会不代表你真的会做，很多同学都有这样的习惯，动笔计算会让很多自己以为没问题的地方暴露出漏洞，考前发现不足都不是坏事，切莫因为计算问题让自己再来一年。
No.2
考型与考点分析
首先简单看下考试题目的构成与数量 以及每个部分规定的考试时间：
要注意这个规格是17年之后到现在，16年及之前是28+17的选择题结构。
1：选择题，非计算器部分
一道长着级数求和的样子的题，本质考的是大家在Precal阶段就学过的无穷等比数列的和。重点在于搞清楚第一项和公比分别是多少。
考察凑微分和基本积分公式的理解，当然很多学校会只讲substitution的方法，都可以。
考察变限积分(integral with variable upper limit)和复合函数求导(the chain rule)的综合运用。
综合考察大家对极限和定积分定义的理解。
本题是AP考试中非常经典的级数审敛题目，给的级数都非常简单，主要考生看是否对定义和基本方法掌握到位。
综合考察运用直接法将复合函数展开成Maclaurin级数的技巧，这道题推荐用直接法，用间接法需要一定的技巧。
2：选择题，计算器部分
考察对弧长公式的运用，要注意普通形式，参数方程形式，极坐标形式三种形态下的弧长公式都要会。
考察运动学的知识，也就是微积分在物理中的应用，重点在于区分displacement和t.d.t.的区别，以及各自的公式。
经典的计算器部分的题目但计算器却没什么帮助的场合。这道题考的是抽象级数，因此要求考生充分理解各种级数审敛法的特征和应用前提。当然善于举反例也是可以的。
3：简答题，计算器部分
计算器部分的大题，综合考察参数方程的基本概念，参数方程的导数，向量的模，导数的应用（optimization相关）。
4：简答题，非计算器部分
经典的分段图形结合变上限积分函数的综合大题，a问考察定积分的定义和几何意义，b问考察最值的概念注意和极值做出区分，最值不需要用test，c问考察拐点的概念。
需要注意的是AP当中会经常考察导数不存在的情况下，极值和拐点(inflection points)问题，大家要注意梳理和归纳。
21年最新的大题，看着唬人，但是难度实际上不高，按照题目要求按部就班即可。 a问考察了学生对积分审敛法前提条件的理解，不少学生都会做积分但是不知道这个前提条件是什么。
如果在平时学习的时候知道积分审敛法的证明过程那么在面对这个问题时就非常得心应手，d问需要注意交错级数(alternating series)的error bound和positive series中用Lagrange Remainder求error bound方法有所不同，这也是17年之后新加的一个考点。
No.3
7天冲刺策略
关于在学习当中的侧重点把握，这里我简要说明一下，针对一元函数微积分学（也就是大家AP的考试内容）的一些学习备考策略。
极限与连续： 这个部分AP是讲得比较完整的，在考试当中会考概念和计算。直接考察的比例不高，但是间接考察的题目不少。而且大家要记住很重要的一句话，极限是整个微积分的基础 。有了极限的定义（将来大家会接触到的语言）及其相关性质，才有后面的导数，不定积分，定积分，级数敛散性等诸多概念。因此大家在这部分学习和备考的时候除了会做题尽量要去理解和感悟其中的思想，这对掌握微积分有非常大的帮助。
导数与微分： 求导也是大家在微积分学科中真正第一次接触全新的内容（因为在Precalculus的一些内容中会提前接触极限的思想）这一部分的重点是几个求导法则尤其是The Chain Rule ，它直接关系到后续相关变化率(related rate of change)，隐函数求导(derivative of implicit functions)，分部积分(integration by part)等有关内容的学习。不管是基础班还是强化班冲刺班我们都会反复提及这个事情。无论是简单复合还是复杂的复合函数都要能做到准确求导。有关微分的应用，推荐大家记住一下几个有用的例子。
思考这几个函数在0处分别具有什么性质。就能加深对一阶导数二阶导数应用相关内容的理解。
积分与微分方程： 这一部分内容大家在上手初期会觉得很难理解，实际上AP的积分考察一般不会很深奥（隔壁IB考的题目虽难但是也都有提示），建议大家首先要把导数公式记熟 ，这个熟练不是你会默写的熟练而是要做到你能从各种积分式子中迅速找到对应的基础公式模型。
私以为，不定积分是这一部分核心中的核心，抛开计算器部分，你会写原函数你才能用FTC去算定积分（包括improper integral），才能去解决后面的各种应用问题。变量可分离微分方程的本质也是求不定积分。所以大家在这一块下点功夫肯定是有好处的。
无穷级数： （AB的同学可以直接跳过）对于BC的同学来说这一部分内容会稍微有点难度，主要是形式上比较抽象而且一些思维和前面的内容会有所差异 ，大家在备考和学习的时候可以根据自己的能力与时间分配精力。总的来说考试中出现需要大家审敛的级数都是比较基础的，再不济ratio test, limit comparison test, integral test挨个试一下总能有结果的。有关Maclaurin Series，大家记住AP考试中依旧是考察比较基础的应用，这里推荐大家掌握一些简单的间接法展开技巧（替换原则），对做题有很大帮助。
有关参数方程与极坐标： BC的同学在这一部分需要注意的是，考试中不会要求你们记住极坐标中曲线的解析式，比如摆线，螺线，心形线等，也不会直接考察大家参数方程消参的技巧。理解如何求极坐标曲线的导数，如何确定极坐标形式下的积分限是更重要的 （当然这里涉及到一些三角的知识，希望大家在Precal中不要欠下太多的债）。当然也非常建议大家有能力话的系统性学习一下极坐标与参数方程的相关理论，对理解题目有很大的帮助。
No.4
疫情下的应对政策
感谢宋乐阳老师对于AP微积分备考的精彩解析！
宋老师还用自己的学习与教学经验提醒同学们：“微积分是一门通往高等领域的研究工具，概率论的完善，数理统计的建立，物理当中相关公式的推导，金融当中的各种投资计算，量化风险等等均是基于微积分理论。所以学好这门课不仅仅是为了一个5分，还是为了你将来的学术道路能够走的顺利 。”
“截止我写稿的这一刻，上海地区和上海周边的一些地区考试都取消了，预测CB是不会单独为了部分考生采用线上考试，后面在五月下旬会有一个late testing，那么很有可能会采用推迟考试的形式。我们分别考虑一下相关可能性，如果今年彻底取消，那么没有AP成绩肯定是需要别的考试或者相关标化来补充基本竞争力的。如果是late testing，那么该来的还是要来的，同时注意到大家的复习时间都变长了，在划5分线的时候不排除水涨船高的可能性。当然以上分析并不是要制造焦虑，我想说的是仍旧应该保持正常学习备考状态，以平稳的心态应对疫情带来的不确定性。 既不要趁机摆烂，也不必感到着急。”
认真上好现在的网课，当你想着躺平，也许你的同僚依旧在认真学习，等到隔离结束， 你可能会发现和别的人差距突然扩大了许多 。
从另一个角度来说，排除一些同学申请艺术，纯文科等进入大学后不会再接触数学的专业，大部分同学在大学阶段的前几年，还是要和数学打交道的。不管是概率论还是理工科必修的cal3，在AP阶段打好基础对自己只有好处没有坏处 ，所以保持长远的目光，未雨绸缪。学到的知识永远是自己的财富，千万不要觉得学习是吃亏。
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