AP微积分考试分为AB与BC，与AB相比，BC包含的内容更多难度更高。考点包括极限、微分、积分(不定积分、定积分)、微分方程、级数(AB无此部分)、应用。
极限部分
这部分是微积分的基础，包含：
(1)会判断极限存在或不存在，当极限存在时如何求出该极限
(2)利用极限刻画函数的形态——渐近线(asymptote)，研究函数的性质——连续性(continuous)。
1.1 极限存在的判定标准：左极限与右极限均存在且相等
1.2 求极限的方法
求a：先将a代入表达式，如果可以求出某一确定的数值，则该数值即为此函数的极限。
1.2.1 有理函数(rational function)
一般来说都是0/0或infinity/ infinity的形式，
求a：通过因式分解将0因子约掉。
求无穷大(infinity)：分子分母同时除以该式子的最高次项。
另外也可用L’Hopital’sRule来做。
1.2.2 洛必达法则(L’Hopital’s Rule)
具体使用时如果所求极限是0/0或infinity/ infinity的形式，可以将分子分母两部分分别求导，再计算求完导数之后的极限。
1.2.3 等价无穷小代换
这一方法大部分国外教材与辅导书(James，Thomas，Finney，Barron)都未提及，但掌握之后会给运算带来相当大的便利。
1.2.4 幂指函数
这种类型的函数，做法是通过ln将其变换成指数型函数来进行运算。
1.2.5 0乘有界等于0
1.3 对于极限不存在，需要掌握左右极限不相等、无穷大和震荡三种
1.4 极限的应用
1.4.1 函数的连续性(continuity)
如果函数在某一点的极限值等于函数值，则称该函数在这一点连续。判断函数在某一点是否连续，必须要分别考察其左极限与右极限，如果左极限与右极限相等则说明极限存在，进而与该点的函数值比较，如果相等即为连续不等即为间断。
1.4.2 间断点的类型(discontinuity)
一共分为三种removable，jump，infinite
1.4.3 当函数在某一闭区间上连续时，则有三个定理
(1) The extremevalue theorem (EVT)
(2) Theintermediate value theorem (IVT)
(3) The zeropoint theorem (Bolzano theorem)
1.4.4 渐近线(asymptote)
分为水平(horizontal)与垂直(vertical)。
其中水平的求法是分别求两个infinity的极限，如果存在则可判定有水平渐近线。
垂直的求法是求某一点的极限，如果该极限等于无穷(infinity)，则可判定通过在这一点存在垂直渐近线。
水平(horizontal)：
垂直(vertical)：
导数与微分
这一部分的核心在于如何求出一个函数的导数及导数的应用。
2.1 导数与微分的定义
简单来说导数是切线的斜率(slope)，微分是切线的改变量。
2.2 求函数不同表示形式的导数
显函数、反函数、复合函数、隐函数、参数方程、极坐标
复合函数
Chain rule或微分形式不变性
隐函数
Chain rule或微分形式不变性
参数方程
微分
极坐标
微分
要注意的一点以哪个变量为基准求导数默认是x，但也有特殊情况如respectto sinx则是将sinx看成一个整体进行求解。 |
