绝对值方程是近年来经常考到的一个知识点。今天我们就一起来回顾一下SAT中解绝对值方程常用的三种方法。
方法一：代数意义法
我们知道，非负数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数。这是绝对值的代数意义。
当a≥0时，︱a︱=a;
当a<0时，︱a︱=-a。
对于形如︱ax +b︱=c的绝对值方程，我们可以根据代数意义去绝对值，分类讨论，进行求解。
20.(2020.12 亚太)What is the sum of the solutions to the given equation?
︱x - 4︱= 2
对于此题，我们可以根据绝对值内表达式的正负，进行分类讨论。
当x – 4 ≥ 0，即x ≥ 4时，
去掉绝对值，有x – 4 = 2，
解得x = 6，满足这种情况下的限制条件x ≥ 4，
故x = 6是一个解;
当x – 4<0，即x<4时，
去掉绝对值，有 –(x – 4) = 2，
解得x =2，满足这种情况下的限制条件x<4，
故x = 2是另一个解。
2 + 6 = 8，故此题正确答案为8。
18.(2021.05 亚太)
︱x+3︱= 0
Exactly how many solutions does the given equation have?
A) Zero
B) One
C) Two
D) Three
类似的，当x + 3 ≥ 0，即x ≥ –3时，
去掉绝对值，有x + 3 = 0，
解得x = –3，满足这种情况下的限制条件x ≥ –3，
故x = –3是一个解;
当x + 3 < 0，即x < –3时，
去掉绝对值，有–(x + 3) = 0，
解得x = –3不满足这种情况下的限制条件x < –3，
此情况舍去。
综上，此方程有一个解x = –3，故此题选B。
方法二：几何意义法
数轴上，表示数a的点与原点的距离为数a的绝对值，记作︱a︱。|a-b|或|b-a|代表数轴上点a和点b之间的距离。
我们也可以用绝对值的几何意义求解上一题。题目问︱x+3︱= 0有多少个解，也就是问数轴上，有几个点到–3这一点的距离是0。由图可知，只有–3这个点本身在数轴上到–3的距离是0，故此题只有一个解x = –3。
方法三：平方法
通过将等式两边同时平方，我们也可以去绝对值。
10.(2021.05 亚太)
︱x + 2︱=︱x – 8︱
What is the solution to the given equation?
A) –6
B) –3
C) 3
D) 6 |
